二次函数专题3

二次函数专题3

例题：

$x^2+ax+1>0$在区间$[2,3]$上恒成立，则 $a$ 的取值范围是什么？

$Tips:$ 参变分离

参变分离是求参数取值范围的一种常用方法，通过分离参数用函数观点讨论主要变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围，这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决。参变分离方法在解决不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围等问题中会时常用到。解决这类问题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或者值域问题。

不等式两边同除以 $x$ 得

$x+a+\frac {1}{x}>0$

$x+ \frac{1}{x}>-a$

$\because 2≤x≤3$

$\therefore \frac {5}{2}≤x+ \frac{1}{x}≤\frac {10}{3}$

$\therefore -a≤\frac{2}{5}$

$a≥-\frac{2}{5}$

其实很简单，对吧

课后题

1. $-x^2+ax+1>0$在区间$[2,3]$上恒成立，则 $a$ 的取值范围是什么？
2. $ax^2+x+1>0$在区间$[2,3]$上恒成立，则 $a$ 的取值范围是什么？
3. 设$f(x)=1+2^x+a·4^x$,当$x\in (-\infty ,1]$时，$f(x)$的图像在$x$轴上方，求$a$的取值范围。